Чтобы найти производную функции z= x^2 - xy + y^2 в заданной точке M(1; 1) в направлении вектора L=6i+8j, мы будем использовать формулу дифференциала функции по направлению.
Формула дифференциала функции по направлению:
Df = ∇f · L,
где Df - дифференциал функции,
∇f - градиент функции,
L - нормализованный вектор направления.
1. Вычислим градиент функции ∇f:
∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j,
где (∂f/∂x) - частная производная функции по x,
(∂f/∂y) - частная производная функции по y.
Производные функции f(x, y) по x и y:
∂f/∂x = 2x - y,
∂f/∂y = -x + 2y.
Теперь подставим значения x=1 и y=1:
∂f/∂x = 2(1) - 1 = 1,
∂f/∂y = -1 + 2(1) = 1.
Градиент функции ∇f в точке M(1; 1):
∇f = 1 i + 1 j = i + j.
2. Теперь найдем нормализованный вектор направления L:
Сначала найдем длину вектора L:
|L| = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Теперь найдем нормализованный вектор направления L:
Lн = 1/10 (6i + 8j) = (1/10)6i + (1/10)8j = (3/5)i + (4/5)j.
3. Подставим значения градиента ∇f и нормализованного вектора направления Lн в формулу дифференциала функции по направлению:
Df = ∇f · Lн.
Df = (i + j) · ((3/5)i + (4/5)j).
Df = (i · (3/5)i) + (i · (4/5)j) + (j · (3/5)i) + (j · (4/5)j).
Теперь применим свойство ортонормированности базисных векторов i и j:
i · i = 1, i · j = 0, j · i = 0, j · j = 1.
Df = (3/5)i^2 + (4/5)ij + (3/5)ji + (4/5)j^2.
Df = (3/5)i^2 + (4/5)ij + (3/5)ij + (4/5)j^2.
Df = (3/5)i^2 + 2(4/5)ij + (4/5)j^2.
Df = (3/5)(1) + 2(4/5)(0) + (4/5)(1).
Df = 3/5 + 4/5 = 7/5.
Таким образом, производная функции z= x^2 - xy + y^2 в точке M(1; 1) в направлении вектора L=6i+8j равна 7/5.
Формула дифференциала функции по направлению:
Df = ∇f · L,
где Df - дифференциал функции,
∇f - градиент функции,
L - нормализованный вектор направления.
1. Вычислим градиент функции ∇f:
∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j,
где (∂f/∂x) - частная производная функции по x,
(∂f/∂y) - частная производная функции по y.
Производные функции f(x, y) по x и y:
∂f/∂x = 2x - y,
∂f/∂y = -x + 2y.
Теперь подставим значения x=1 и y=1:
∂f/∂x = 2(1) - 1 = 1,
∂f/∂y = -1 + 2(1) = 1.
Градиент функции ∇f в точке M(1; 1):
∇f = 1 i + 1 j = i + j.
2. Теперь найдем нормализованный вектор направления L:
Сначала найдем длину вектора L:
|L| = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Теперь найдем нормализованный вектор направления L:
Lн = 1/10 (6i + 8j) = (1/10)6i + (1/10)8j = (3/5)i + (4/5)j.
3. Подставим значения градиента ∇f и нормализованного вектора направления Lн в формулу дифференциала функции по направлению:
Df = ∇f · Lн.
Df = (i + j) · ((3/5)i + (4/5)j).
Df = (i · (3/5)i) + (i · (4/5)j) + (j · (3/5)i) + (j · (4/5)j).
Теперь применим свойство ортонормированности базисных векторов i и j:
i · i = 1, i · j = 0, j · i = 0, j · j = 1.
Df = (3/5)i^2 + (4/5)ij + (3/5)ji + (4/5)j^2.
Df = (3/5)i^2 + (4/5)ij + (3/5)ij + (4/5)j^2.
Df = (3/5)i^2 + 2(4/5)ij + (4/5)j^2.
Df = (3/5)(1) + 2(4/5)(0) + (4/5)(1).
Df = 3/5 + 4/5 = 7/5.
Таким образом, производная функции z= x^2 - xy + y^2 в точке M(1; 1) в направлении вектора L=6i+8j равна 7/5.