Пусть система n линейных уравнений содержит k неизвестных, А – матрица коэффициентов при неизвестных, В – расширенная матрица. Выбрать все неверные утверждения:
А) Система уравнений совместна, если rang А = rang В;
Б) Система уравнений совместна, если rang А < rang В;
В) Система уравнений несовместна, если rang А < rang В;
Г) Система уравнений совместна, если rang А = rang В < k .
- Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение такой системы. В противном случае она называется несовместной.
- Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк или столбцов в этой матрице.
Теперь пошагово разберем каждое утверждение:
А) "Система уравнений совместна, если rang А = rang В;"
Это утверждение верное. Равенство рангов матриц А и В означает, что число линейно независимых строк в матрице А равно числу линейно независимых строк в матрице В. Если число линейно независимых строк в матрице А равно числу неизвестных (k), то система уравнений будет совместной, так как имеет хотя бы одно решение.
Б) "Система уравнений совместна, если rang А < rang В;"
Это утверждение неверное. Если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В, то это означает, что число линейно независимых строк в матрице А меньше числа линейно независимых строк в матрице В. Если число линейно независимых строк в матрице А меньше числа неизвестных (k), то система уравнений будет несовместной, так как не сможет удовлетворить всем условиям одновременно.
В) "Система уравнений несовместна, если rang А < rang В;"
Это утверждение верное. Обоснуем его. Если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В, то это означает, что число линейно независимых строк в матрице А меньше числа линейно независимых строк в матрице В. Если число линейно независимых строк в матрице А меньше числа неизвестных (k), то система уравнений будет несовместной, так как не сможет удовлетворить всем условиям одновременно.
Г) "Система уравнений совместна, если rang А = rang В < k."
Это утверждение верное. Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и при этом меньше числа неизвестных (k), то система уравнений будет совместной, так как имеет хотя бы одно решение.
Итак, неверными утверждениями являются Б) "Система уравнений совместна, если rang А < rang В;" и Г) "Система уравнений совместна, если rang А = rang В < k."