Хорошо, рассмотрим задачу по поиску наименьшего значения функции у = -3х^5 - 5х^3 + 7.
Шаг 1:
Сначала нам нужно найти производную функции. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и применим правило дифференцирования для мономов. В данном случае правило дифференцирования монома xn гласит:
d/dx(xn) = nx^(n-1)
Применим это правило для каждого члена нашей функции:
Первое уравнение даёт единственное решение: х = 0.
Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным числом.
Шаг 3:
Теперь, чтобы определить, является ли найденная критическая точка (х = 0) минимумом или максимумом, нам нужно проанализировать знаки второй производной вокруг этой точки.
Для этого найдем вторую производную функции у:
у'' = d^2/dx^2(-15х^4 - 15х^2)
у'' = 2(60х^2 + 10) = 120х^2 + 20
Шаг 4:
Теперь посмотрим на знак второй производной вокруг критической точки х = 0.
Значение второй производной при х = 0:
у''(0) = 120(0)^2 + 20 = 20
Так как у''(0) = 20 является положительным числом, это означает, что найденная критическая точка (х = 0) является минимумом функции.
Шаг 5:
Итак, мы найдем значение функции в точке минимума х = 0.
Подставим х = 0 в исходную функцию:
у = -3(0)^5 - 5(0)^3 + 7
у = 0 - 0 + 7
у = 7
Таким образом, минимальное значение функции y = -3х^5 - 5х^3 + 7 равно 7.
Шаг 1:
Сначала нам нужно найти производную функции. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и применим правило дифференцирования для мономов. В данном случае правило дифференцирования монома xn гласит:
d/dx(xn) = nx^(n-1)
Применим это правило для каждого члена нашей функции:
у' = d/dx(-3х^5) - d/dx(5х^3) + d/dx(7)
у' = -15х^4 - 15х^2
Шаг 2:
Теперь найдем критические точки функции, то есть значения х, при которых производная равна нулю или не существует.
Для этого приравняем производную к нулю:
-15х^4 - 15х^2 = 0
Теперь вынесем общий множитель:
-15х^2(х^2 + 1) = 0
Решим полученное уравнение:
-15х^2 = 0
х^2 + 1 = 0
Первое уравнение даёт единственное решение: х = 0.
Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным числом.
Шаг 3:
Теперь, чтобы определить, является ли найденная критическая точка (х = 0) минимумом или максимумом, нам нужно проанализировать знаки второй производной вокруг этой точки.
Для этого найдем вторую производную функции у:
у'' = d^2/dx^2(-15х^4 - 15х^2)
у'' = 2(60х^2 + 10) = 120х^2 + 20
Шаг 4:
Теперь посмотрим на знак второй производной вокруг критической точки х = 0.
Значение второй производной при х = 0:
у''(0) = 120(0)^2 + 20 = 20
Так как у''(0) = 20 является положительным числом, это означает, что найденная критическая точка (х = 0) является минимумом функции.
Шаг 5:
Итак, мы найдем значение функции в точке минимума х = 0.
Подставим х = 0 в исходную функцию:
у = -3(0)^5 - 5(0)^3 + 7
у = 0 - 0 + 7
у = 7
Таким образом, минимальное значение функции y = -3х^5 - 5х^3 + 7 равно 7.