Рассмотрим функцию . Тогда исходное уравнение имеет вид: .
Заметим, что любой положительный корень уравнения однозначно определяет корень уравнения (это верно в силу того, что уравнение (относительно ) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.
При каких значениях параметра , уравнение имеет ровно один положительный корень?
График представляет собой параболу с ветвями вверх.
Исследуем местоположение ее вершины.
.
Заметим, что при любом значении параметра , (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.
Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: .
Рассмотрим функцию
. Тогда исходное уравнение имеет вид: 
.
Заметим, что любой положительный корень уравнения
однозначно определяет корень уравнения 
(это верно в силу того, что уравнение 
(относительно 
) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.
При каких значениях параметра
, уравнение 
имеет ровно один положительный корень?
График
представляет собой параболу с ветвями вверх.
Исследуем местоположение ее вершины.
Заметим, что при любом значении параметра
, 
(это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.
Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие:
.
Тогда имеем
.
ответ:
.