Для определения первообразной для функции y=3x^3–2x, нам нужно найти функцию F(x), такую, что F'(x) = 3x^3–2x.
Это можно сделать, интегрируя данную функцию с помощью формулы интеграла степенной функции. При этом, мы знаем, что если F(x) является первообразной функцией для f(x), то для любой константы C, F(x) + C также будет первообразной для f(x).
Теперь рассмотрим каждый вариант ответа и проинтегрируем функцию y=3x^3–2x:
а) Интегрируем функцию x^4–x^2+1:
Постепенно интегрируем каждый член по отдельности:
∫(x^4–x^2+1) dx = ∫x^4 dx – ∫x^2 dx + ∫1 dx = (x^5/5) – (x^3/3) + x + C1
Сравнивая найденные интегралы с функцией y=3x^3–2x, мы видим, что только вариант а) даёт нам правильный ответ. Таким образом, функция F(x) = (x^5/5) – (x^3/3) + x + C1 является первообразной для функции y=3x^3–2x, где C1 - произвольная константа.
Это можно сделать, интегрируя данную функцию с помощью формулы интеграла степенной функции. При этом, мы знаем, что если F(x) является первообразной функцией для f(x), то для любой константы C, F(x) + C также будет первообразной для f(x).
Теперь рассмотрим каждый вариант ответа и проинтегрируем функцию y=3x^3–2x:
а) Интегрируем функцию x^4–x^2+1:
Постепенно интегрируем каждый член по отдельности:
∫(x^4–x^2+1) dx = ∫x^4 dx – ∫x^2 dx + ∫1 dx = (x^5/5) – (x^3/3) + x + C1
б) Интегрируем функцию x^4–x^2:
∫(x^4–x^2) dx = ∫x^4 dx – ∫x^2 dx = (x^5/5) – (x^3/3) + C2
в) Интегрируем функцию x^4–2x^2+3:
∫(x^4–2x^2+3) dx = ∫x^4 dx – 2∫x^2 dx + 3∫1 dx = (x^5/5) – (2x^3/3) + 3x + C3
Сравнивая найденные интегралы с функцией y=3x^3–2x, мы видим, что только вариант а) даёт нам правильный ответ. Таким образом, функция F(x) = (x^5/5) – (x^3/3) + x + C1 является первообразной для функции y=3x^3–2x, где C1 - произвольная константа.
Ответ: а) x^4–x^2+1.