Задача 4. Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и де-
вятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямо-
угольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют
одинаковый размер.
​

Пошаговое объяснение:

Очевидно то, что два квадрата равны если сторона одного квадрата равна стороне другого.

При данном разбиении квадрата образовались 10 горизонтальных и 10 вертикальных полос. Если два квадрата из девяти окажутся в одной из этих восемнадцати полос, то они будут равны, и утверждение доказано.

Предположим что никакие 2 из девяти квадратов не окажутся в одной и той же полосе. Тогда чтобы образовались девять квадратов необходимо соответственное равенство девяти вертикальных полос девяти горизонтальным. Пересечение этих полос-квадрат. Но в этом случае оставшаяся вертикальная полоса будет равна оставшейся горизонтальной. И значит их пересечение десятый квадрат, что противоречит условию задачи. Значит наше предположение не верно.

Что и требовалось доказать.