В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота
5√3 см. Найти объем данной пирамиды.
2. Диаметр основания цилиндра равен 6 см, образующая равна 9√5 см. Найти объём цилиндра.
3. Сторона куба 2 корень 3 степени из √5 см. Найдите объём куба.

Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный треугольник, а вершина  проецируется в его центр.

Центр правильного треугольника - центр вписанной и описанной окружности, т.е. точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике и медианами и биссектрисами. 

а)

Площадь поверхности пирамиды - сумма  площадей основания и  боковой поверхности.

Формула площади правильного треугольника через его сторону 

S=a²•√3/4

S(ABC)=16√3/4=4√3 см²

В правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Для нахождения их площади следует найти апофему (Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многоугольника.) 

 Углы правильного треугольника равны 60°

Высота основания СН=ВС•sin60°=4•√3:2=2√3 

В правильном треугольнике высота=медиана.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. =>

ОН=2√3:3=2√3:3

ОН⊥АВ=> 

по т. о 3-х перпендикулярах МН⊥АВ и является высотой ∆ АМС. 

Высота пирамиды  перпендикулярна плоскости основания. => 

МО⊥СН

По т.Пифагора из прямоугольного ∆ МОН 

МН=√(MO*+OH*)=√(36+12/9)=√(336/9)=(√336)/3

S(AMB)=MH•AB:2=(2√336)/3 

S (бок)=3•(2√336):3=2√336

S (полн)=4√3+2√336=2√3•(2+√112)=≈ 43,5888 см²