Лёня плохо учится в школе, поэтому складывает дроби следующим образом: сумму числителей дробей делит на сумму их знаменателей. Он сложил две различные несократимые дроби a/b и c/d (a и c — целые числа, b и d — натуральные). Результат оказался ровно в 2 раза меньше, чем правильный ответ. Докажите, что Лёня не мог складывать дроби, у которых b НЕ РАВНО d.
Пусть изначально у нас есть две несократимые дроби a/b и c/d, где a, b, c и d — целые числа, b и d — натуральные числа.
Дроби a/b и c/d можно записать в виде суммы числителя и знаменателя:
a/b = a + b
c/d = c + d
Так как Лёня складывает дроби, он получает результат, деля сумму числителей на сумму знаменателей:
(a + c) / (b + d)
По условию, этот результат оказался в 2 раза меньше, чем правильный ответ. Обозначим правильный ответ как x:
(a + c) / (b + d) = (1/2) * x
Умножим обе части уравнения на (b + d), чтобы избавиться от деления:
(a + c) = (1/2)*(x)*(b + d)
Теперь рассмотрим два случая: b ≠ d и b = d.
В первом случае, когда b ≠ d, мы знаем, что (b + d) ≠ 0 (так как b и d — натуральные числа), поэтому мы можем сократить обе части уравнения на (b + d):
(a + c) = (1/2)*x
Это означает, что a + c равно половине правильного ответа x. Так как a и c — целые числа, мы можем заключить, что a и c целым образом делятся на 2. Кроме того, так как a/b и c/d — несократимые дроби, a и c нечетные числа (иначе дроби могли бы быть сокращены).
Теперь допустим, что x — четное число. В этом случае, мы можем выразить x в виде 2k, где k — целое число. Подставляя это значение обратно в уравнение, получим:
a + c = (1/2)*(2k)
a + c = k
Здесь мы видим, что сумма a + c равна целому числу k. Но мы знаем, что a и c нечетные числа, поэтому сумма a + c не может быть целым числом k. Противоречие!
Следовательно, в случае b ≠ d невозможно получить результат, который в 2 раза меньше правильного ответа.
Аналогично, можно рассмотреть случай b = d:
(a + c) / (b + d) = (1/2) * x
(a + c) = (1/2) * x * 2 * b
Сокращаем и упрощаем:
(a + c) = x * b
Здесь мы видим, что сумма a + c должна быть кратна b. Но мы знаем, что a и c — нечетные числа, поэтому сумма a + c не может быть кратна b. Противоречие!
Таким образом, доказано, что Лёня не мог складывать дроби, у которых b ≠ d.