Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти общее решение(общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка xy'=y+3x sin(y/x)

Ответ:

Arte322r22

12.10.2020 13:50

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных дифференциальных уравнений всегда осуществляется замена y=ux , тогда y'=u'x+u . Получаем :

$x(u'x+u)=ux+3x\sin \dfrac{ux}{x}\\ \\ x=0;~~~ u'x+u=u+3\sin u\\ \\ u'x=3\sin u$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, мы получим

$\displaystyle \int \dfrac{du}{\sin u}=\int \dfrac{3dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{\sin u}{\sin^2u}du=3\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ -\int \dfrac{d(\cos u)}{1-\cos^2u}=3\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\dfrac{1}{2}\ln\Bigg|\dfrac{1+\cos u}{1-\cos u}\Bigg|=3\ln |x|+\ln C$

$\ln\Bigg|\dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}\Bigg|=\ln\left|Cx^6\right|\\ \\\\ \dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}=Cx^6$

Выполним обратную замену

$\dfrac{1-\cos \frac{y}{x}}{1+\cos \frac{y}{x}}=Cx^6$ — общий интеграл

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

mascamasa

27.02.2020 11:58

Скорость течения реки 28 км ч скорость катера по течению 36 км ч найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки...

paskhin2017

31.05.2020 19:58

Всем ! а какие реепты на костре модно приготовить в походе? шашлык и уху нельзя : ( ! только...

ната34567890

31.05.2020 19:58

Вчисловом выражении некоторые цифры заменены буквами(разные цифры-разными буквамиодинаковые-одинаковыми) получилось следующее: 2018а: всd=aa...

Оксана1970

31.05.2020 19:58

Мороженное состоит на 60% из воды, 20% масло, остальное сахар...

ehidna666

31.05.2020 19:58

решите урок длится 45мин перемена 1_6сколько минут длятся урок и перемена вместе ?...

RIGBY19204

31.05.2020 19:58

На клумбе во дворе 10%-розы, 45%-гвоздики, остальное тюльпаны....

Penb

31.05.2020 19:58

Мимо светофора проехали автобус со скоростью 42км/ч и троллейбус со скоростью 36км/ч автобус доехал до следующего следующего светофора за 1,5 минуты. на каком расстоянии...

WowRenka

31.05.2020 19:58

Решить маштаб 1/100 сколько см на местности обозначает 5 см на карте.каким отрезком на карте изображено 12 см...

Ladnaya56

31.05.2020 19:58

Катя запланировала прочитать за три месяца все произведения а.с.пушкина. за первый месяц катя прочитала 7/10 всех произведен ий. за второй месяц 4/15 всех произведений....

Lidya777

31.05.2020 19:58

Взоопарке морж ося получает в день 21 кг рыбы,а морж малыш на 8 кг меньше.на сколько кг рыбы меньше за неделю получает морж малыш,чем морж ося?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку