Войти Регистрация Спроси ai-bota

Дифференциальное уровнение первого порядка решить

Ответ:

hellday

12.08.2020 08:39

(x^2+xy+y^2)dx-xydy=0

Разделим почленно на x^2 :

$\left(1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}\right)dx-\dfrac{y}{x}dy=0$

Разделим почленно на :

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{dy}{dx} =0$

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot y'=0$

Замена:

$\dfrac{y}{x}=t\\\Rightarrow y=tx\\\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

$1+t +t^2-t\cdot(t'x+t)=0$

1+t +t^2-xtt'-t^2=0

1+t-xtt'=0

xtt'=1+t

$xt\cdot\dfrac{dt}{dx} =1+t$

$\dfrac{t}{1+t}dt=\dfrac{dx}{x}$

$\left$

$\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\dfrac{dx}{x}$

$\int \left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\int\dfrac{dx}{x}$

$t-\ln|1+t|=\ln|x|+\ln C$

$t=\ln|x|+\ln C+\ln|1+t|$

$t=\ln \left(Cx(1+t)\right)$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(Cx\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\right)$

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(C\left(x+y\right)\right)$

$\boxed{C\left(x+y\right)=e^{\frac{y}{x} }}$ - общее решение

Подставим данные по условию y(1)=0 :

$C\left(1+0\right)=e^{\frac{0}{1} }$

C=1

$\boxed{x+y=e^{\frac{y}{x} }}}$ - частное решение

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

deniskakuzovle

07.08.2021 02:29

Кпразднику 8 марта в теплице вырастили 300 тюльпанов а еще нарисуешь ее гладить определите по диаграмме сколько напиши сколько выйдет вырастили в теплице сколько букетов можно составить...

gulnazka06

07.08.2021 02:29

(7 класс) кто может написать поисковый этап проекта - шарф крючком(черная пряжа, 20% пряжа,остальное акрил, узор - цветочек, зимний, не снуд) поисковый этап 1. определить проблему....

bazroval

07.08.2021 02:29

Из двух городов, расстояние между которыми 3128 км, одновременно навстречу друг друга вышли товарный и пассажирский поезд. товарный шёл со скоростью 67км в час. найдите скорость...

лав35

07.08.2021 02:29

Учись разгадывать шарады шарада-это загадка, в которой загаданное слово разбирается на части,по описаниям которых и восстонавливается слово. начало слова лес, конец-стихотворение,...

KukolkaBaig

22.06.2021 02:45

Скорость мотоциклиста 50 км/ч а время 40ч. скорость велосипедиста 10км/ч а время 2ч.найди общее расстояние....

ArturGafiyatullin145

22.06.2021 02:45

Вкармане у миши было четыре конфеты — «грильяж», «белочка», «коровка» и «ласточка», а также ключи от квартиры. вынимая ключи, миша случайно выронил из кармана одну конфету. найдите...

ussr2017

22.06.2021 02:45

Как сделать уточнение (1908+r): 25=80...

bulycheva0303

22.06.2021 02:45

Расстояние между двумя 120км.с какой скоростью надо ехать чтобы преодолеть это расстояние за 1ч,2ч,3ч,4ч,5ч,tч?...

Юра22858

22.06.2021 02:45

18 напишите мини рассказ на 3-5 предложений про свои любимые игры детства...

brijet2007

22.06.2021 02:45

Вычесть 2) 11/14 - 8/14 6) 19/27 - 10/27...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку