16. y" +14y' +49y=0,<br />y(0)=0,<br />y'(0)=3,​<br />Вища математика.<br />Розв'язок Диференціального рівняння​

y(x) = 3xe⁻⁷ˣ

Пошаговое объяснение:

решим характеристическое уравнение:

l² + 14l + 49 = 0

(l + 7)² = 0

l = -7 - кратный корень

y(x) = C₁xe⁻⁷ˣ + C₂e⁻⁷ˣ

y(0) = C₂ = 0 => y(x) = C₁xe⁻⁷ˣ

y'(x) = C₁e⁻⁷ˣ - 7C₁xe⁻⁷ˣ

y'(0) = C₁ = 3

y(x) = 3xe⁻⁷ˣ

составим характеристическое уравнение к²+14к+49=0

(к+7)²=0, откуда к₁,₂=-7

Общий интеграл однородного диф. уравнения примет вид у=с₁е⁻⁷ˣ+с₂хе⁻⁷ˣ

у'=-7с₂х*е⁻⁷ˣ-7с₁е⁻⁷ˣ+с₂е⁻⁷ˣ

у=е⁻⁷ˣ *(с₁+с₂х)

Найдем теперь у(0)=с₁=0

у'(0)=c₂=3

3=c₂;

у=3хе⁻⁷ˣ