Чтобы определить значения x, при которых выполняется равенство f'(x) = 0, нужно найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю.
Для начала найдем производную функции f(x). Используя правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования степенной функции, получаем:
f'(x) = (d/dx)(x^2) + (d/dx)(3/√x)
Дифференцируя x^2, получаем:
f'(x) = 2x + (d/dx)(3/√x)
Дифференцируем 3/√x, используя правило дифференцирования константы и правило дифференцирования обратной функции, получаем:
f'(x) = 2x - 3/(2√x^3)
Теперь приравниваем f'(x) к нулю и решаем уравнение:
2x - 3/(2√x^3) = 0
Умножаем обе стороны уравнения на 2√x^3, чтобы избавиться от знаменателя:
2x * 2√x^3 - 3 = 0
Выполняем операции с умножением:
4√x^5 - 3 = 0
Добавляем 3 к обеим сторонам уравнения:
4√x^5 = 3
Делим обе стороны уравнения на 4:
√x^5 = 3/4
Возводим обе стороны уравнения в квадрат:
x^5 = (3/4)^2
Вычисляем (3/4)^2:
x^5 = 9/16
Используем корень пятой степени, чтобы избавиться от степени:
x = (9/16)^(1/5)
Окончательный ответ: x = (9/16)^(1/5).
Таким образом, равенство f'(x) = 0 выполняется при значении x, равном корню пятой степени из 9/16.
Для начала найдем производную функции f(x). Используя правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования степенной функции, получаем:
f'(x) = (d/dx)(x^2) + (d/dx)(3/√x)
Дифференцируя x^2, получаем:
f'(x) = 2x + (d/dx)(3/√x)
Дифференцируем 3/√x, используя правило дифференцирования константы и правило дифференцирования обратной функции, получаем:
f'(x) = 2x - 3/(2√x^3)
Теперь приравниваем f'(x) к нулю и решаем уравнение:
2x - 3/(2√x^3) = 0
Умножаем обе стороны уравнения на 2√x^3, чтобы избавиться от знаменателя:
2x * 2√x^3 - 3 = 0
Выполняем операции с умножением:
4√x^5 - 3 = 0
Добавляем 3 к обеим сторонам уравнения:
4√x^5 = 3
Делим обе стороны уравнения на 4:
√x^5 = 3/4
Возводим обе стороны уравнения в квадрат:
x^5 = (3/4)^2
Вычисляем (3/4)^2:
x^5 = 9/16
Используем корень пятой степени, чтобы избавиться от степени:
x = (9/16)^(1/5)
Окончательный ответ: x = (9/16)^(1/5).
Таким образом, равенство f'(x) = 0 выполняется при значении x, равном корню пятой степени из 9/16.