вычислить площадь фигуры ограниченной функциями
y=1-х^2 и y=х^2
прямыми х=0 и х=1

ответ:

вот решение:

сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

так как производная y’ = 4x – 2, то при х0 = 2 получим k = y’(2) = 6.

найдем ординату точки касания: у0 = 2 · 22 – 2 · 2 + 1 = 5.

следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

гу = 2х2 – 2х + 1 – парабола. точки пересечения с осями координат: а(0; 1) – с осью оу; с осью ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (d < 0). найдем вершину параболы:

xb = -b/2a;

xb = 2/4 = 1/2;

yb = 1/2, то есть вершина параболы точка в имеет координаты в(1/2; 1/2).

итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

имеем: sоaвd = soabc – sadbc.

найдем координаты точки d из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит dc = 2 – 7/6 = 5/6.

площадь треугольника dbc найдем по формуле sadbc = 1/2 · dc · bc. таким образом,

sadbc = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

далее:

soabc = ʃ02(2x2 – 2х + 1)dx = (2x3/3 – 2х2/2 + х)|02 = 10/3 (кв.

окончательно получим: sоaвd = soabc – sadbc = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

ответ: s = 1 1/4 кв. ед.