Вычислить высоту пирамиды с вершинами в точках a(2,-3,5), b(0,2,1), c(-2,-2,3),d(3,2,4)

Даны вершины пирамиды A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3),D(3,2,4).

Будем считать, что требуется определить высоту из точки Д.

Находим векторы АВ и АС для определения площади основания АВС.

АВ = (-2; 5; -4), АС = (-4; 1; -2).

Их векторное произведение равно.

 i         j        k |        i         j

-2        5      -4 |      -2        5

-4        1      -2 |       -4        1 = -10i + 16j - 2k - 4j + 4i + 20k =  -6i + 12j + 18k.

Площадь грани ABС равна половине модуля полученного векторного произведения (-6; 12; 18).

S(ABСD) = (1/2)*√(36 + 144 + 324) = (1/2)√504= 3√14 ≈ 11,225.

Находим вектор АD = (1; 5; -1).

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (АВхАС)*АД.

(АВхАС) = (-6; 12; 18),  АД = (1; 5; -1).

V = (1/6)*(-6*1 + 12*5 + 18*(-1)) = 36/6 = 6 куб.ед.

Теперь можно определить высоту ДН из точки Д на основание АВС.

ДН = 3V/S(ABC) = 3*6/(3√14) = 3√14 / 7 ≈ 1,6036.