(100 ) составить неявные и параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки с( 1; 1; 3), a(3; 2; 1), b(2; 4; 6).

Ответ:

Aiden131

11.10.2020 01:35

Параметрические уравнения:

x = 3 - s - 2t

y = 2 +2s - 1t

z = 1 +5s + 2t

Неявное уравнение:

9x-8y+5z=16

Пошаговое объяснение:

Параметрическое уравнение

Вектор $\vec{c}$ :

C-A

$\left(\begin{array}{ccc}1\\1\\3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2\\-1\\2\end{array}\right)$

Вектор $\vec{b}$ :

B-A

$\left(\begin{array}{ccc}2\\4\\6\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-1\\2\\5\end{array}\right)$

Берём, скажем, точку как отправную, и размножаем векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ , используя параметры и :

$\vec{r}=A+\vec{b}\cdot s+\vec{c}\cdot t = \left(\begin{array}{ccc}3\\2\\1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}-1\\2\\5\end{array}\right)\cdot s + \left(\begin{array}{ccc}-2\\-1\\2\end{array}\right)\cdot t$

Отсюда параметрические уравнения:

x = 3 - s - 2t

y = 2 +2s - 1t

z = 1 +5s + 2t

Неявное уравнение

В уравнении Ax+By+Cz=D коэффициенты A, B, C - это координаты вектора нормали, а D - коэффициент, сдвигающий плоскость, задаваемую вектором нормали, так, чтобы плоскость содержала в себе одну из точек из условия.

Найдём вектор нормали как векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{с}$ :

$\left|\begin{array}{ccc}-1&2&5\\-2&-1&2\\i&j&k\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}-1&2\\-2&-1\end{array}\right|k - \left|\begin{array}{ccc}-1&5\\-2&2\end{array}\right|j + \left|\begin{array}{ccc}2&5\\-1&2\end{array}\right| i = 9i -8j+5k$