Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда
или 1) а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒
⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )
или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒
Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.
Если а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
Значит, а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z
Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Из включений
( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )
(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z
получаем равенство!
Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда
или 1) а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒
⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )
или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒
⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )
Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.
Если а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
Значит, а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z
Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Из включений
( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )
(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z
получаем равенство!