Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты xi , а во второй строке – соответствующие частоты ).
требуется:
1) построить полигон частот.
2) найти выборочную среднюю xв (несмещённую оценку средней)
3) найти выборочную дисперсию (смещённую оценку).
4) «исправленную» выборочную дисперсию s2 (несмещённую оценку) и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s.
Перед нами дано статистическое распределение выборки, где в первой строке указаны выборочные варианты xi, а во второй строке – соответствующие частоты. Для решения поставленных вопросов, нам необходимо выполнить несколько шагов:
1) Построить полигон частот.
Для этого мы должны построить прямоугольники, где по горизонтальной оси будут выборочные варианты xi, а по вертикальной оси - соответствующие им частоты. Высота каждого прямоугольника будет соответствовать частоте. Если значения в выборке непрерывны, то для группировки значений следует использовать интервалы. После построения прямоугольников соединяем их верхние углы линиями, получая полигон частот.
2) Найти выборочную среднюю xв (несмещенную оценку средней).
Выборочная средняя xв (несмещенная оценка средней) вычисляется по формуле:
xв = (x1 * n1 + x2 * n2 + ... + xn * nn) / (n1 + n2 + ... + nn),
где xi - значение выборки, а ni - соответствующая ему частота.
Сначала необходимо умножить каждое значение выборки на его частоту, затем просуммировать эти произведения и разделить на сумму частот.
3) Найти выборочную дисперсию (смещенную оценку).
Выборочная дисперсия (смещенная оценка) вычисляется по формуле:
Dв = ((x1 - xв)^2 * n1 + (x2 - xв)^2 * n2 + ... + (xn - xв)^2 * nn) / (n1 + n2 + ... + nn),
где xв - выборочная средняя, xi - значение выборки, а ni - соответствующая ему частота.
Сначала нужно вычислить квадрат разности между каждым значением выборки и выборочной средней, затем умножить каждый квадрат на соответствующую частоту, просуммировать эти произведения и разделить на сумму частот.
4) Найти "исправленную" выборочную дисперсию s^2 (несмещенную оценку) и "исправленное" среднее квадратическое отклонение s.
"Исправленная" выборочная дисперсия s^2 (несмещенная оценка) вычисляется по формуле:
s^2 = ((x1 - xв)^2 * (n1 - 1) + (x2 - xв)^2 * (n2 - 1) + ... + (xn - xв)^2 * (nn - 1)) / (n1 + n2 + ... + nn - k),
где xв - выборочная средняя, xi - значение выборки, а ni - соответствующая ему частота, k - количество различных значений выборки.
Разница с предыдущей формулой заключается в вычитании единицы из каждого значения частоты перед умножением и в вычитании k из суммы частот в знаменателе.
"Исправленное" среднее квадратическое отклонение s вычисляется как квадратный корень из "исправленной" выборочной дисперсии: s = √s^2.
Таким образом, я поэтапно рассмотрел решение задачи построения полигона частот, нахождения выборочной средней xв (несмещенной оценки средней), выборочной дисперсии (смещенной оценки), "исправленной" выборочной дисперсии s^2 (несмещенной оценки) и "исправленного" среднего квадратического отклонения s.