Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решение , однородные дифференциальные уравнения

Ответ:

Summer2006

10.10.2020 23:49

Перепишем уравнение так: 4x+4u=y'(4x-y)

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для него осуществляется замена y=ux , тогда y'=u'x+u

$4x+4ux=(u'x+u)(4x-ux)\\ \\ x=0;~~~ 4+4u=(u'x+u)(4-u)\\ \\ 4+4u=4u'x+4u-u'ux-u^2\\ \\ u'x(4-u)=u^2+4$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2+4}{x(4-u)}~~~~\Rightarrow~~~~\dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\\\ \\ \int \dfrac{4du}{u^2+4}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(u^2+4)}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ 4\cdot \dfrac{1}{2}{\rm arctg}\, \dfrac{u}{2}-\dfrac{1}{2}\ln \big|u^2+4\big|=\ln |x|+C$

Выполнив обратную замену получим

$2{\rm arctg}\, \dfrac{y}{2x}-\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{y^2}{x^2}+4\bigg|=\ln |x|+C$ — общий интеграл

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

банан116

17.11.2020 15:13

Сколько километров пройдет катер за 3 часа , двигаясь по течению реки, скорость течения которой 1400 м/ч и это составляет 4/30 (это дробь 4 числитель, а знаменатель 30) собственной...

darinaggg

17.11.2020 15:13

700 700 - 6054 • (47 923 - 47 884) - 65 548 по действиям...

igor331

17.11.2020 15:13

3м+200см= 3м+2см= 3м+0,2м= 3м+20см= 3м+0,02м= 7дм2см*5= 9м69см: 3= 6дм2см: 3,1дм= можно можно по быстрей...

husanov18p06h9l

17.11.2020 15:13

Выразите в кубических сантиметрах 8 дм куб 22 дм куб 5 дм, 80 см куб 120.000 мм куб 7м 9дм куб 5дм 80 см куб...

Lizavitafjfjsj

17.11.2020 15:13

Решить : из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 3 часа.один пешеход шёл со скоростью 3 км/ч,другой 4 км/ч.каково расстояние между...

drswag12312

17.11.2020 15:13

Рассказ о своих петомцах о коте и собаке...

lednevairina

17.11.2020 15:13

Мачеха уходя с дочерьми на велела золушке перебрать 100 кг крупы а золушка перебрала 150 кг крупы какую часть своего выполнила золушка выази в процетнах...

Chara05

17.11.2020 15:13

Реши только те уравнение, в которых неизвестное число должен быть найдено делением. x/9=9000, 101+x=101, x*5=4500, x-0=999 )...

момалог

17.11.2020 15:13

Длина прямоугольного параллелепипеда 15 см больше ширины в 3 раза больше ширины на 3 сантиметра найдите площадь его поверхности...

andreyusachevp0cxzy

17.11.2020 15:13

Длина отрезка cd равна 3 см.найдите длину отрезка mn если cd=3/2mn...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку