При каком натуральном k число 2^k +1 делится на 7? (2 в степени к)

Несуществует

Пошаговое объяснение:

Дело в том, что:  

1) если k=1,4,7,10,13,...3*N-2, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-2,  

2) если k=2,5,8,11,14,...3*N-1, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-4,  

3) а если k=3,6,9,12,15,...3*N, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-1  

Поэтому 2^k+1 не делится на 7 ни при каких k. В первом случае в остатке всегда будет 3, во втором всегда будет 5, в третьем всегда будет 2.