Добрый день! Давайте решим каждую задачу по очереди.
а) Нам нужно найти первообразную для функции f(x) = 1/x^2 - 2sin(x), при условии, что x не равно нулю.
Для начала мы знаем, что первообразная — это функция, производная которой равна исходной функции. То есть нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Чтобы найти такую функцию F(x), мы найдем первообразную каждого слагаемого отдельно. Вспомним, что первообразная для функции 1/x^2 равна -1/x.
Теперь рассмотрим слагаемое -2sin(x). Здесь мы знаем, что первообразная для sin(x) равна -cos(x). Тогда первообразной для -2sin(x) будет 2cos(x).
Теперь мы сложим все найденные первообразные, чтобы получить ответ. Получаем:
F(x) = -1/x + 2cos(x) + C,
где C — произвольная постоянная.
Ответ: первообразная для f(x) = 1/x^2 - 2sin(x), x не равно 0, равна F(x) = -1/x + 2cos(x) + C.
б) Нам нужно найти первообразную для функции f(x) = 1/x, при условии, что x > 0.
Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Здесь мы знаем, что первообразная для функции 1/x равна ln(x), где ln(x) — натуральный логарифм от x.
Теперь подведем итоги:
F(x) = ln(x) + C,
где C — произвольная постоянная.
Ответ: первообразная для f(x) = 1/x, x > 0, равна F(x) = ln(x) + C.
Надеюсь, эти ответы были понятны и полезны! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.
а) Нам нужно найти первообразную для функции f(x) = 1/x^2 - 2sin(x), при условии, что x не равно нулю.
Для начала мы знаем, что первообразная — это функция, производная которой равна исходной функции. То есть нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Чтобы найти такую функцию F(x), мы найдем первообразную каждого слагаемого отдельно. Вспомним, что первообразная для функции 1/x^2 равна -1/x.
Теперь рассмотрим слагаемое -2sin(x). Здесь мы знаем, что первообразная для sin(x) равна -cos(x). Тогда первообразной для -2sin(x) будет 2cos(x).
Теперь мы сложим все найденные первообразные, чтобы получить ответ. Получаем:
F(x) = -1/x + 2cos(x) + C,
где C — произвольная постоянная.
Ответ: первообразная для f(x) = 1/x^2 - 2sin(x), x не равно 0, равна F(x) = -1/x + 2cos(x) + C.
б) Нам нужно найти первообразную для функции f(x) = 1/x, при условии, что x > 0.
Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Здесь мы знаем, что первообразная для функции 1/x равна ln(x), где ln(x) — натуральный логарифм от x.
Теперь подведем итоги:
F(x) = ln(x) + C,
где C — произвольная постоянная.
Ответ: первообразная для f(x) = 1/x, x > 0, равна F(x) = ln(x) + C.
Надеюсь, эти ответы были понятны и полезны! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.