Доказать, что ∀x ∈ n найдётся прямоугольный треугольник с целочисленными. сторонами, синус одного из углов которого равен .

. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами

(последняя - гипотенуза). Из него видно, что , а . Тогда исходный синус перепишется в виде .

Рассмотрим треугольник с гипотенузой и катетом . Тогда оставшийся катет можно вычислить по теореме Пифагора:  . Пусть рационально и . Тогда у треугольника рациональные стороны и синус одного из его углов удовлетворяет требованиям. Теперь достаточно увеличить его стороны в наименьшее общее кратное всех трех знаменателей раз. И требуемый треугольник готов