Тут найти площадь треугольника авс, если а(5; 4; 1) в(-3; 5; 2) и с(2; -1; 3)

Находим векторы:

Вектор АВ            Вектор АС  

x   y    z                x          y       z

-8    1     1              -3           -5          2.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.  

 i              j           k |            i             j

-8         1     1   |           -8           1    

-3           -5          2 |           -3           -5   =  2i - 3j + 40k + 16j + 5i + 3k =

7i + 13j + 43k = (7; 13; 43).  

Находим модуль: |АВ х АС| = √(7² + 13² + 43²) =

√(49 + 169 + 1849) = √2067  ≈ 45,46427.

Площадь равна: S = (1/2)*√2067  ≈ 22,7321 кв.ед.

Можно  применить другой

Находим длины сторон:

АВ = √66 ≈8,124, ВС = √62 ≈7,874, АС = √38 ≈ 6,164.

Затем по формуле Герона находим площадь.

Периметр 2p  = 22,1625, полупериметр p  = 11,0812.

Площадь равна S = √516,75 ≈ 22,7321.