Умаши и даши были два одинаковых прямоугольника. каждая разрезала свой прямоугольник на два прямоугольника, при этом у маши получились прямоугольники с периметрами 20 см и 30 см, а у даши – прямоугольники с периметрами 29 см и 35 см. чему равна площадь первоначального прямоугольника (в см2)?

Пошаговое объяснение:

    Так как по условию при разрезании прямоугольника получились также прямоугольники, то разрез шел перпендикулярно одной из сторон и параллельно другой.

   При разрезании прямоугольника по линии, параллельной одной из сторон, периметры полученных прямоугольников больше периметра исходного на длину этой стороны каждый. Т.е сумма периметров полученных прямоугольников больше периметра исходного на 2 длины стороны, параллельно которой сделан разрез.  

    Пусть исходный прямоугольник имеет стороны а и в. Если у Маши разрез параллелен стороне в и отступает от нее на х см, то периметр одного полученного прямоугольника Р₁ = 2(в + х), а второго Р₂ = 2(в + (а-х))

    Сумма периметров:  Р₁ + Р₂ = 2в + 2х + 2в + 2а – 2х = 4в + 2а = 20 + 30 = 50 (см)

   Если бы Даша сделала разрез также параллельный стороне в, то сумма периметров ее прямоугольников была бы также 50, так как она не зависит от расстояния х от стороны в и всегда будет 4в+2а = 50 (см).

   Значит, Даша разрезала прямоугольник параллельно стороне а. Повторив рассуждения выше, получим, что сумма периметров полученных прямоугольников на 2а больше периметра исходного (2а+2в), т.е. 4а + 2в = 29 + 35 = 64 (см)

    Получили систему уравнений:

{4в + 2а =  50 (см)    

{4а + 2в = 64 (см)

    Умножим выражение для суммы периметров Маши на 2 и вычтем из него выражение для суммы периметров Даши

    {4в + 2а =  50 (см)   | *2

    {4а + 2в = 64 (см)

6в = 36;  в = 6 (см)

    Теперь умножим на 2 выражение для суммы периметров Даши и вычтем из него выражение для суммы периметров Маши

    {4а + 2в = 64 (см)  | *2

    {4в + 2а =  50 (см)    

6а = 78 ; а = 13 см

     Стороны исходного прямоугольника а = 13 см; в = 6 см.  

     Его площадь:   S = а * в = 13 * 6 = 78 (см2)

ответ: 78 см²

Примечание :

Прямоугольники Маши: Р ₁= 2в +2х = 20; х=10-6=4 (см); а-х = 13-4 = 9(см);  Р₂ = 2*(6+9) = 30 (см)

Прямоугольники Даши: Р₁ = 2а + 2у = 29; у = (29-26):2 =1,5 см; в-х = 6-1,5=4,5 (см); Р₂ = 2*(13+4,5) =35(см)

13 см

Пошаговое объяснение:

Во вложении