Решите ! плоскости, заданные уравнениями 4(х – k) + 56y - 16z = 0 и z + (4 - k) y - 4z + 10 = 0, тогда и только тогда, когда 1) k=(перечеркнуто равно)10 2) k = +10 3) k = 0 4) k = -10
Для решения данной задачи нам необходимо найти значения переменной k, при которых заданные уравнения плоскостей будут равны между собой.
1) Подставим уравнения плоскостей вместе и выразим k:
4(х – k) + 56y - 16z = z + (4 - k) y - 4z + 10
Раскрываем скобки:
4x - 4k + 56y - 16z = z + 4y - ky - 4z + 10
Подобные слагаемые собираем:
4x - 4k + 52y - 17z = 10 - ky
Переносим все слагаемые с k на одну сторону уравнения:
4x + 52y - 17z + ky - 4k = 10
Вынесем переменную k за скобки:
4x + 52y - 17z + k(y - 4) = 10
Теперь кое-что заметим: для того, чтобы уравнение было равным нулю, каждый его коэффициент должен быть равен нулю. Получим систему уравнений:
4x + 52y - 17z = 0 (1)
y - 4 = 0 (2)
k = 0 (3)
2) Рассмотрим другие варианты значений переменной k:
a) k = 10:
Подставим в уравнение (1):
4x + 52y - 17z = 0
Подставим в уравнение (2):
y - 4 = 0
Подставим в уравнение (3):
k = 10
b) k = +10:
Так как знак "+" в этом варианте предложен отдельно, он будет обозначать положительное число. Поэтому этот вариант аналогичен предыдущему, когда k = 10.
c) k = -10:
Теперь подставим в уравнение (1):
4x + 52y - 17z = 0
Подставим в уравнение (2):
y - 4 = 0
Подставим в уравнение (3):
k = -10
Итак, после вычислений при разных значениях k, получаем следующие ответы:
1) k=(перечеркнуто равно)10: Система уравнений состоит из трех уравнений:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
2) k = +10: Система уравнений также состоит из трех уравнений:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
3) k = 0: Система уравнений теперь будет выглядеть следующим образом:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
4) k = -10: И наконец, система уравнений будет:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = -10
То есть ответом на задачу будет, что плоскость, заданная уравнениями 4(х – k) + 56y - 16z = 0 и z + (4 - k) y - 4z + 10 = 0, будет равна другой плоскости, если и только если k равно 10 (вариант 1), +10 (вариант 2), 0 (вариант 3) или -10 (вариант 4).
1) Подставим уравнения плоскостей вместе и выразим k:
4(х – k) + 56y - 16z = z + (4 - k) y - 4z + 10
Раскрываем скобки:
4x - 4k + 56y - 16z = z + 4y - ky - 4z + 10
Подобные слагаемые собираем:
4x - 4k + 52y - 17z = 10 - ky
Переносим все слагаемые с k на одну сторону уравнения:
4x + 52y - 17z + ky - 4k = 10
Вынесем переменную k за скобки:
4x + 52y - 17z + k(y - 4) = 10
Теперь кое-что заметим: для того, чтобы уравнение было равным нулю, каждый его коэффициент должен быть равен нулю. Получим систему уравнений:
4x + 52y - 17z = 0 (1)
y - 4 = 0 (2)
k = 0 (3)
2) Рассмотрим другие варианты значений переменной k:
a) k = 10:
Подставим в уравнение (1):
4x + 52y - 17z = 0
Подставим в уравнение (2):
y - 4 = 0
Подставим в уравнение (3):
k = 10
b) k = +10:
Так как знак "+" в этом варианте предложен отдельно, он будет обозначать положительное число. Поэтому этот вариант аналогичен предыдущему, когда k = 10.
c) k = -10:
Теперь подставим в уравнение (1):
4x + 52y - 17z = 0
Подставим в уравнение (2):
y - 4 = 0
Подставим в уравнение (3):
k = -10
Итак, после вычислений при разных значениях k, получаем следующие ответы:
1) k=(перечеркнуто равно)10: Система уравнений состоит из трех уравнений:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
2) k = +10: Система уравнений также состоит из трех уравнений:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
3) k = 0: Система уравнений теперь будет выглядеть следующим образом:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = 0
4) k = -10: И наконец, система уравнений будет:
4x + 52y - 17z = 0
y - 4 = 0
k = -10
То есть ответом на задачу будет, что плоскость, заданная уравнениями 4(х – k) + 56y - 16z = 0 и z + (4 - k) y - 4z + 10 = 0, будет равна другой плоскости, если и только если k равно 10 (вариант 1), +10 (вариант 2), 0 (вариант 3) или -10 (вариант 4).