Для определения того, при каких значениях α функция y = x³ - 2x² + αx возрастает на всей числовой прямой, мы будем искать такие значения α, при которых первая производная функции (y') всюду положительна.
Чтобы найти первую производную функции, нам нужно продифференцировать функцию по переменной x. В данном случае у нас есть функция y = x³ - 2x² + αx.
Дифференцируем функцию по x:
y' = 3x² - 4x + α.
Теперь мы хотим найти те значения α, при которых функция y' всюду положительна. Известно, что функция y' является параболой с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при квадрате положительный - 3), и вершина этой параболы находится в точке (x = -b/2a, y = c - (b²/4a)).
В нашем случае, a = 3, b = -4, c = α. Подставим эти значения в формулу для вершины параболы:
x = -(-4)/(2*3) = 4/6 = 2/3,
y = α - (4²/(4*3)) = α - 16/12 = α - 4/3.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (x = 2/3, y = α - 4/3).
Чтобы определить, при каких значениях α парабола направлена вверх (т.е. функция y' всюду положительна), нам нужно, чтобы значение α было больше чем y-координата вершины параболы. То есть, α > α - 4/3.
Это бесполезное неравенство, так как оно никогда не выполнится на числовой прямой. То есть, нет такого значения α, при котором функция y = x³ - 2x² + αx возрастает на всей числовой прямой.
Чтобы найти первую производную функции, нам нужно продифференцировать функцию по переменной x. В данном случае у нас есть функция y = x³ - 2x² + αx.
Дифференцируем функцию по x:
y' = 3x² - 4x + α.
Теперь мы хотим найти те значения α, при которых функция y' всюду положительна. Известно, что функция y' является параболой с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при квадрате положительный - 3), и вершина этой параболы находится в точке (x = -b/2a, y = c - (b²/4a)).
В нашем случае, a = 3, b = -4, c = α. Подставим эти значения в формулу для вершины параболы:
x = -(-4)/(2*3) = 4/6 = 2/3,
y = α - (4²/(4*3)) = α - 16/12 = α - 4/3.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (x = 2/3, y = α - 4/3).
Чтобы определить, при каких значениях α парабола направлена вверх (т.е. функция y' всюду положительна), нам нужно, чтобы значение α было больше чем y-координата вершины параболы. То есть, α > α - 4/3.
Упростим неравенство: α > α - 4/3.
Сокращаем α: 0 > -4/3.
Это бесполезное неравенство, так как оно никогда не выполнится на числовой прямой. То есть, нет такого значения α, при котором функция y = x³ - 2x² + αx возрастает на всей числовой прямой.