(x^2+1)y''-2y=0
однородное уравнение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e^(r*x). Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2-r-2=0

D=1+4*2=1+8=9=3^2

r1=(1+3)/2=2

r2=(1-3)/2=-1

Корни характеристического уравнения:

r1=2

r2=-1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1=e^(-x)

y2=e^(2*x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C1*e^(-x)+C2*e^(2*x)