Пусть в треугольнике abc проведена биссектриса ak угла a.докажите что ab: ac=kb: kc.какие следствия можно получить из этого равенства? верно ли обратное утверждение? можно ли получить доказательство без использования
теоремы синусов?

Пусть угол АКВ=х, тогда уголАКС=180-х 
Рассмотрим треугольник АВК по теореме синусов ВК:sin(А/2)=АВ:sinх 
Отсюда sin(А/2)=(ВК*sinх)/АВ 
Рассмотрим треугольник АКС по теореме син КС:sin(А/2)=АС:sin(180-х) 
Отсуда sin(А/2)=(КС*sin(180-х))/АС 
Левые части равны, равны и правые (ВК*sinх)/АВ= (КС*sin(180-х))/АС 
sin(180-х)=sinх Значит ВК:АВ= КС:АС Осюда АВ:АС=ВК:КС 
Следствия: АС:АВ=КС:КВ АВ*КС=АС*КВ