Деталь может обрабатываться на любом из имеющихся двух станков. производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго. из партии обработанных двумя станками деталей наудачу берут (последовательно с возвратом) три детали. найти вероятность того, что из взятых деталей первым станком обработана одна.
тема: подсчет вероятностей
Шаг 1: Понимание информации в задаче
В задаче говорится, что у нас есть два станка для обработки деталей, причем производительность первого станка гораздо выше, чем второго (в 3 раза). Из партии обработанных деталей мы берем наудачу (с возвратом, то есть можем взять одну деталь несколько раз) три детали. Нам нужно найти вероятность того, что из трех взятых деталей ровно одна была обработана первым станком.
Шаг 2: Определение производительности станков
Пусть производительность второго станка равна 1 (чтобы было удобнее сравнивать). Тогда производительность первого станка будет равна 3.
Шаг 3: Определение вероятности выбора деталей
У нас есть два станка и мы выбираем следующую деталь наудачу с возвратом. Это значит, что вероятность выбора детали, обработанной первым станком, равна вероятности выбора детали, обработанной вторым станком, и они равны доле деталей, обработанных соответствующими станками, в общей партии.
Пусть вероятность выбора детали, обработанной первым станком, равна P1, а вероятность выбора детали, обработанной вторым станком, равна P2.
Шаг 4: Нахождение P1 и P2
Так как все детали обработаны либо первым, либо вторым станком, то P1 + P2 = 1 (вероятность выбора одной из деталей равна 1). Также известно, что производительность первого станка в 3 раза больше, чем производительность второго. Значит, доля деталей, обработанных первым станком, в партии составляет 3/4, а доля деталей, обработанных вторым станком, - 1/4.
Таким образом, P1 = 3/4 и P2 = 1/4.
Шаг 5: Решение задачи
Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы решить задачу. Нам нужно найти вероятность того, что из трех взятых деталей ровно одна была обработана первым станком.
Так как у нас есть три детали и одна из них должна быть обработана первым станком, а две - вторым станком, мы можем рассмотреть все возможные комбинации выбора деталей:
- 1 деталь первым станком, 2 детали вторым станком (P1 * P2 * P2)
- 1 деталь вторым станком, 2 детали первым станком (P2 * P1 * P1)
- 1 деталь первым станком, 1 деталь вторым станком, 1 деталь первым станком (P1 * P2 * P1)
- 1 деталь вторым станком, 1 деталь первым станком, 1 деталь вторым станком (P2 * P1 * P2)
Суммируем эти вероятности, чтобы найти искомую вероятность:
P = (P1 * P2 * P2) + (P2 * P1 * P1) + (P1 * P2 * P1) + (P2 * P1 * P2)
Подставляем значения P1 и P2:
P = (3/4 * 1/4 * 1/4) + (1/4 * 3/4 * 3/4) + (3/4 * 1/4 * 3/4) + (1/4 * 3/4 * 1/4)
Упрощаем:
P = (3/64) + (27/64) + (27/64) + (3/64)
P = 60/64
Упрощаем дробь:
P = 15/16
Ответ: Вероятность того, что из трех взятых деталей ровно одна была обработана первым станком, равна 15/16 или примерно 0.9375.