Для начала давайте рассмотрим некоторые свойства чисел, записываемых только единицами. Пусть n - число, составленное из n единиц.
1. Умножение числа на 10 не меняет его делимость на другое число.
2. При делении числа на 2019 остаток не может быть больше 2019.
Теперь перейдем к доказательству самого утверждения.
Предположим, что такое число не существует и что все числа, записываемые только единицами, не делятся на 2019. Докажем, что это противоречие.
Рассмотрим числа, состоящие из 2019 единиц (2019, 201...1). Пусть первое число, которое мы рассмотрим, не делится на 2019. Тогда оно имеет некий остаток после деления на 2019, который мы обозначим равным a. Рассмотрим следующее число, составленное из 2019 единиц. При умножении на 10 оно станет числом, состоящим из 2018 единиц и нуля в конце. Делим это число на 2019, чтобы получить остаток. Так как число, состоящее из 2019 единиц, не делится на 2019, остаток a останется тем же. Затем мы снова умножаем на 10 и повторяем процесс.
Мы повторяем эту процедуру 2019 раз, каждый раз умножая число на 10 и получая остаток a после деления на 2019. После 2019 итераций получим число, состоящее из 1 единицы и 2018 нулей в конце (1000...01). При делении этого числа на 2019 также получим остаток a.
Теперь возьмем первое число, которое мы рассматривали, и умножим его на количество число, полученное после 2019 итераций (1000...01). При умножении числа, состоящего только из единиц, на число с единицей в самом начале и единицей в самом конце мы получим число, которое делится на 2019, так как остаток от деления a на себя равен нулю.
Таким образом, мы доказали, что число, состоящее только из единиц, которое делится на 2019, существует.
1. Умножение числа на 10 не меняет его делимость на другое число.
2. При делении числа на 2019 остаток не может быть больше 2019.
Теперь перейдем к доказательству самого утверждения.
Предположим, что такое число не существует и что все числа, записываемые только единицами, не делятся на 2019. Докажем, что это противоречие.
Рассмотрим числа, состоящие из 2019 единиц (2019, 201...1). Пусть первое число, которое мы рассмотрим, не делится на 2019. Тогда оно имеет некий остаток после деления на 2019, который мы обозначим равным a. Рассмотрим следующее число, составленное из 2019 единиц. При умножении на 10 оно станет числом, состоящим из 2018 единиц и нуля в конце. Делим это число на 2019, чтобы получить остаток. Так как число, состоящее из 2019 единиц, не делится на 2019, остаток a останется тем же. Затем мы снова умножаем на 10 и повторяем процесс.
Мы повторяем эту процедуру 2019 раз, каждый раз умножая число на 10 и получая остаток a после деления на 2019. После 2019 итераций получим число, состоящее из 1 единицы и 2018 нулей в конце (1000...01). При делении этого числа на 2019 также получим остаток a.
Теперь возьмем первое число, которое мы рассматривали, и умножим его на количество число, полученное после 2019 итераций (1000...01). При умножении числа, состоящего только из единиц, на число с единицей в самом начале и единицей в самом конце мы получим число, которое делится на 2019, так как остаток от деления a на себя равен нулю.
Таким образом, мы доказали, что число, состоящее только из единиц, которое делится на 2019, существует.