Доказатьчто прямая x+1/2=y+1/-1=z-3/3 параллельна плоскости 2x+y-1=0. a прямая x+1/2=y+1/-1=z+3/3 лежит в этой плоскости

Для доказательства параллельности двух прямых необходимо проверить, что их направляющие векторы коллинеарны.

Уравнение прямой задано в параметрической форме:
x = t + 1/2,
y = -t + 1,
z = 3t - 3/3.

Направляющий вектор этой прямой равен [1, -1, 3/3] = [1, -1, 1].

Уравнение плоскости указано в общем виде:
2x + y - 1 = 0.

Найдем нормальный вектор этой плоскости, который будет перпендикулярен плоскости и указывает её направление. Нормальный вектор равен [2, 1, 0].

Теперь сравним направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости.
Для этого посмотрим на определитель следующей системы векторов:
| 1 -1 1 |
| 2 1 0 |

Рассчитаем определитель этой системы:
(1*1*0) + (-1*2*1) + (1*0*1) - (1*1*1) - (-1*1*0) - (1*2*0) = -2 - 0 - 1 + 1 + 0 - 0 = -2.

Если определитель системы равен нулю, то векторы коллинеарны и прямая параллельна плоскости. В данном случае определитель не равен нулю, так как он равен -2, значит векторы не коллинеарны.

Теперь рассмотрим другую прямую, которая находится в этой плоскости:
x = t,
y = -2t + 1,
z = 2t + 1.

Направляющий вектор данной прямой равен [1, -2, 2].

Снова рассмотрим систему сравнения:
| 1 -1 1 |
| 1 -2 2 |

Рассчитаем определитель:
(1*(-2)*0) + (-1*2*1) + (1*1*2) - (1*(-1)*2) - (-1*(-2)*0) - (1*2*1) = 0 - 2 + 2 + 2 + 0 - 2 = 0.

Определитель системы равен нулю, значит векторы коллинеарны, и прямая лежит в этой плоскости.