Втрех урнах находится по n=9, m=7 и k=10 шаров, среди которых n1=5, m1=4 и k1=4черные, а остальные
белые. из первой урны перекладывается наудачу один шар во вторую, а затем из второй
один шар перекладывается в третью. найти вероятность того, что после этого из третьей
урны наудачу будет извлечен белый шар.

ответ: 463/792.

Пошаговое объяснение:

Задачу будем решать по формуле полной вероятности. Событие А - из третьей урны будет извлечён белый шар - может произойти вместе с одним из событий, называемых гипотезами:

H1 - из первой урны во вторую перекладывается белый шар, и из второй в третью - белый;

H2 - из первой урны во вторую перекладывается белый шар, а из второй в третью - чёрный;

H3 - из первой урны во вторую перекладывается чёрный шар, а из второй в третью - белый;

H4 - из первой урны во вторую перекладывается чёрный шар, и из второй в третью - чёрный.

Вероятности этих гипотез таковы: P(H1)=4/9*1/2=2/9=16/72, P(H2)=4/9*1/2=2/9=16/72, P(H3)=5/9*3/8=15/72, P(H4)=5/9*5/8=25/72.

Проверка: так как гипотезы H1,H2,H3 и H4 являются несовместными событиями и притом образуют полную группу, то должно быть P(H1)+P(H2)+P(H3)+P(H4)=1. Подставляя найденные вероятности гипотез, убеждаемся, что так оно и есть - значит, эти вероятности найдены верно.

Так как A=H1*A+H2*A+H3*A+H4*A, и притом события H1*A, H2*A, H3*A и H4*A несовместны, то P(A)=P(H1*A+H2*A+H3*A+H4*A)=P(H1*A)+P(H2*A)+P(H3*A)+P(H4*A)=P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2)+P(H3)*P(A/H3)+P(H4)*P(A/H4). Но P(A/H1)=P(A/H3)=7/11, а P(A/H2)=P(A/H4)=6/11. Отсюда искомая вероятность P(A)=2/9*7/11+2/9*6/11+15/72*7/11+25/72*6/11=463/792.