Восновании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 2. одно из боковых рёбер равно 3 и перпендикулярно к основанию. найдите радиус сферы описанной около пирамиды.

Решение. Пусть Н — основание высоты пирамиды (рисунок 2). Тогда точка

Н совпадает с центром основания ABCD, a поэтому НА=НВ=НС=HD=

1 AC  2 Тем самым точка Н совпадает с центром окружности,

описанной около основания ABCD. Рассмотрим плоскость AS С и

найдем на высоте SH точку О такую, что OS=ОА (рисунок 3). Так как

SH  AC , AH  2 , и AS=3, то SH  32  (

2)2  7 . Обозначим

SO=R. Тогда OH  7  R и

AO2 AH 2 OH 2 2  (

7  R)2 9  2

7R  R2 . Из условия АО=R

составляем уравнение: 9  2

7R  R2 R2 . Отсюда R 

Рассматривая треугольники АНО, ВНО, СНО, DHO, получаем, что они

прямоугольные и равны, так как имеют соответственно равные катеты.

Отсюда АО=ВО=СО=DO=SO. Поэтому сфера с центром О и радиусом

9



7 .содержит все вершины пирамиды.

14

ответ: R

9



7 .

14