Если бы князья изначально признали власть монголов,нашествия можно было избежать и остаться с ними в дружественных отношениях

Избежать или предотвратить могли бы в том случае, если бы огромное Древнерусское государство не распалось…
Распад Руси в целом хотя и был закономерным и прогрессивным явлением (расцвет городов, отдельных княжеств), но негативных и трагических последствий для страны избежать не удалось: децентрализация государственной власти, ослабление единства русских земель подорвали мощь Руси в условиях возрастания угрозы со стороны восточных кочевников и западных держав, давно уже претендовавших на контроль над русскими землями. Новая Русь уже не нуждалась в прежней централизованной власти. В начале 13 в. после распада Древнерусского государства образовалось около 50 княжеств. Их центры стали крупными крепостями, а некогда единая оборонная система страны, прекратила своё существование. В это же время разрозненные племена монгольских скотоводов были объединены Темучином. В 1206 г. общий съезд монгольских вождей (курултай) провозгласил его великим ханом всех монголов -- Чингисханом.
Отряды Чингисхана за короткое завоевали огромные территории в Сибири, Сев. Китае, на Дальнем Востоке, Корее, Средней Азии и Закавказье…
В 1223 г. началась первая волна монгольского завоевания русских земель. В дальнейшем монголо-татарские нашествия на долгие годы приостановили развитие Руси. Ханы осуществляли политику, направленную на углубление и поддержание состояния раздробленности Руси, провоцируя княжеские междоусобицы… На русских землях было установлено золотоордынское иго, длившееся около 250 лет…

Князья обязаны монголам появлением российской государственности и Царства Московского. Пока московские князья устраивали пиры, куда приглашали монгольских ханов, киевские князья думали как избавить себя от монгольского ига.