На числовой прямой даны два отрезка: p = [12, 24] и q = [18 ,30]. отрезок a таков, что формула
(x ∉ a) → ((x ∈ p) → (x ∉ q))
истинна при любом значении переменной x. какое наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок a?
Перегруппируем данную формулу для более удобного анализа:
(x ∉ a) → ((x ∈ p) → (x ∉ q))
Используя логические эквивалентности, мы можем представить данную формулу как:
(¬(x ∉ a)) ∨ ((x ∈ p) → (x ∉ q))
(¬(x ∉ a)) ∨ (¬(x ∈ p) ∨ (x ∉ q))
Теперь продолжим упрощение выражения, используя закон Де Моргана:
(x ∈ a) ∨ (¬(x ∈ p) ∨ (x ∉ q))
(x ∈ a) ∨ ((x ∉ p) ∨ (x ∉ q))
Теперь посмотрим на отрезки p = [12, 24] и q = [18 ,30].
Для любого значения x вне отрезка p, условие (x ∈ p) → (x ∉ q) будет истинным, так как условие "если x находится в p, то x не находится в q" будет всегда выполняться.
Предположим, что отрезок a содержит только одну точку. В этом случае, пусть эта точка будет x = 25. Тогда условие (x ∈ a) ∨ ((x ∉ p) ∨ (x ∉ q)) должно быть выполнено.
(x ∈ a) ∨ ((x ∉ p) ∨ (x ∉ q))
(25 ∈ a) ∨ ((25 ∉ p) ∨ (25 ∉ q))
(25 ∈ a) ∨ ((25 ∉ [12, 24]) ∨ (25 ∉ [18 ,30]))
(25 ∈ a) ∨ ((25 < 12) ∨ (25 < 18))
(25 ∈ a) ∨ (False ∨ False)
(25 ∈ a) ∨ False
True
Так как условие выполняется, мы можем заключить, что отрезок a содержит хотя бы одну точку x = 25.
Теперь перейдем к нечетным числам на числовой прямой. Нечетные числа на числовой прямой можно представить в виде {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.
Так как нам нужно минимальное количество точек, соответствующих нечетным целым числам, то мы можем сделать вывод, что отрезок a должен содержать только одно нечетное число.
Вернемся к условию и посмотрим, какое нечетное число находится вне отрезка p, чтобы условие (x ∉ a) → ((x ∈ p) → (x ∉ q)) было выполнено.
Единственным нечетным числом, находящимся вне отрезка p, является число 25.
Поэтому отрезок a должен содержать только одну точку x = 25.
Ответ: Наименьшее количество точек, соответствующих нечетным целым числам, в отрезке a равно 1. Точка x = 25.