3. На столе лежит лист бумаги в клеточку 5×7. Пять игроков по очереди разрезают любой кусок на 2 половины одним разрезом по границе клеток. Выигрывает тот, после хода которого не осталось кусочков больше чем 1×1. Кто из игроков выиграет и почему? Всего в игре произойдет разрезов. Поэтому игрок под номером совершит последний.
На столе у нас лежит лист бумаги в клеточку размером 5×7. Играют пять игроков, которые по очереди должны разрезать любой кусок бумаги на две половины одним разрезом по границе клеток. Выигрывает тот игрок, после хода которого не осталось кусочков бумаги больше, чем 1×1.
Давай начнем с самого простого случая, когда на столе находится только одна клетка 1×1. Очевидно, что в этом случае первый игрок, имея возможность сделать единственный возможный ход, выиграет.
Представим, что на столе лежит клетка размером 2×2. В этом случае первый игрок может сделать разрез вдоль середины клетки, получив две клетки 1×2. Второй игрок может разрезать любую из этих клеток вдоль середины и также получит две клетки 1×1. То есть, в этом случае победитель может быть только второй игрок.
Теперь рассмотрим случай с клеткой размером 3×3. Первый игрок никак не может разделить эту клетку на две половины одним разрезом по границе клеток. Поэтому первый игрок сделает произвольный разрез, например, вдоль середины по горизонтали, и получит клетки размером 2×3 и 1×3. Второй игрок может разрезать клетку 2×3 вдоль середины по горизонтали и получить две клетки 1×3. После этого, первый игрок сделает разрез по середине второй клетки 1×3 и получит две клетки 1×1. То есть, в этом случае победительом будет первый игрок.
Теперь перейдем к нашей задаче с клеткой размером 5×7. Первый игрок может сделать разрез вдоль середины по горизонтали и получит две клетки 3×7 и 2×7. Второй игрок может разделить клетку 3×7 на две половины 2×7 и 1×7. Затем, первый игрок делает разрез по середине наибольшей клетки 2×7 и получает две клетки 1×7. Теперь осталась клетка 2×7 и две клетки 1×7. Второй игрок делает разрез по середине клетки 2×7 и получает две клетки 1×7. После этого, первый игрок делает последний разрез по середине одной из клеток 1×7 и получает две клетки 1×1. Таким образом, победителем будет первый игрок.
Итак, первый игрок всегда будет выигрывать в данной игре независимо от размера клетки бумаги.