Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Для решения данной задачи мы должны анализировать возможные ходы Вани и Пети и определять стратегии, которые позволяют им выиграть. Давайте рассмотрим несколько возможных значений S и посмотрим, как развивается игра.
При S=1:
• Вани нет первого хода, потому что на первом ходу установлен шар другого цвета.
• Петя ходит первым и может переместить шар на одну из соседних клеток, выбирая красную или желтую клетку.
• Ваня может ходить только на красные клетки и между ними соединены тоннелем, в результате которого он может переместить шар из одной красной клетки в другую.
Из этого следует, что Ваня всегда может сделать такой ход, чтобы Петя не мог сделать выигрышный ход. Ваня может пойти на любую из красных клеток (2 или 3) и переместить шар на соседнюю красную клетку (3 или 2, соответственно), тем самым блокируя ход Пети.
Таким образом, S=1 не удовлетворяет второму условию, так как у Вани есть стратегия, которая позволяет ему гарантированно выиграть первым ходом.
При S=2:
• Петя ходит первым и перемещает шар из клетки 1 в клетку 3.
• Теперь Ваня может ходить только на желтые клетки.
• Ваня может ходить между желтыми клетками, перемещая шар из одной клетки в другую.
• Поскольку Петя не может ходить на желтые клетки, Ваня может сделать так, чтобы Пете не оставалось допустимого хода, и выиграть игру.
Если Ваня стоит на клетке 2, он может переместить шар на клетку 3, и Петя не сможет сделать ход. Или, если Ваня стоит на клетке 3, он может переместить шар на клетку 2, и Петя снова не сможет сделать ход.
Таким образом, S=2 удовлетворяет обоим условиям задачи:
• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
При S=1:
• Вани нет первого хода, потому что на первом ходу установлен шар другого цвета.
• Петя ходит первым и может переместить шар на одну из соседних клеток, выбирая красную или желтую клетку.
• Ваня может ходить только на красные клетки и между ними соединены тоннелем, в результате которого он может переместить шар из одной красной клетки в другую.
Из этого следует, что Ваня всегда может сделать такой ход, чтобы Петя не мог сделать выигрышный ход. Ваня может пойти на любую из красных клеток (2 или 3) и переместить шар на соседнюю красную клетку (3 или 2, соответственно), тем самым блокируя ход Пети.
Таким образом, S=1 не удовлетворяет второму условию, так как у Вани есть стратегия, которая позволяет ему гарантированно выиграть первым ходом.
При S=2:
• Петя ходит первым и перемещает шар из клетки 1 в клетку 3.
• Теперь Ваня может ходить только на желтые клетки.
• Ваня может ходить между желтыми клетками, перемещая шар из одной клетки в другую.
• Поскольку Петя не может ходить на желтые клетки, Ваня может сделать так, чтобы Пете не оставалось допустимого хода, и выиграть игру.
Если Ваня стоит на клетке 2, он может переместить шар на клетку 3, и Петя не сможет сделать ход. Или, если Ваня стоит на клетке 3, он может переместить шар на клетку 2, и Петя снова не сможет сделать ход.
Таким образом, S=2 удовлетворяет обоим условиям задачи:
• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Ответ: S=2.