На числовой прямой даны два отрезка: P=[25,37] и Q=[32,50]. Отрезок Aтаков, что формула ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q)) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
Дано, что отрезок А должен удовлетворять формуле ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q)) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) для любого значения переменной х.
Начнем сначала. Предположим, что переменная x находится вне отрезка P и отрезка Q, то есть x < 25 или x > 50. В этом случае, первая часть формулы (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q) является ложной, так как x не принадлежит отрезку A и принадлежит отрезку Q. Следовательно, факт, что весь отрезок A находится вне отрезка P, нам не подходит. Так что давайте исключим этот вариант.
Теперь предположим, что х находится вне отрезка P, но внутри отрезка Q, то есть 37 < x < 32. В этом случае вторая часть формулы (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) становится ложной, так как х не принадлежит отрезку P и принадлежит отрезку Q. Также формула всегда верна, так как ложная премисса приводит к истинному заключению. Но это не отвечает условию, что формула должна быть тождественно истинной. Поэтому, исключим этот вариант.
Теперь рассмотрим случай, когда x находится в отрезке P, но вне отрезка Q, то есть 25 ≤ x ≤ 37. В этом случае и первая и вторая части формулы выполняются верно. Это отвечает условию, что формула должна быть тождественно истинной. В этом случае отрезок A будет полностью внутри отрезка P.
Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка A будет равна длине отрезка P, то есть |P| = 37 - 25 = 12.
Итак, наибольшая возможная длина отрезка A равна 12.