Контрольная по стереометрии 11 класс вокруг правильной четырёхугольной пирамиды описана сфера. сторона основания = 4√2, угол между ребром и основанием 60°. найти площадь сферы
1. Определим высоту пирамиды:
Высотой правильной пирамиды является отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания. Обозначим высоту буквой h. Так как у нас именно правильная пирамида, то высота h будет проходить через центр основания и пересекать его пополам.
2. Найдем радиус описанной сферы:
Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра основания до вершины пирамиды (то есть, высоте). Так как у нас правильная пирамида и высота делит основание пополам, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы:
(основание/2)^2 + h^2 = радиус^2
(4√2/2)^2 + h^2 = радиус^2
2^2 + h^2 = радиус^2
4 + h^2 = радиус^2
3. Найдем высоту пирамиды:
Так как угол между ребром и основанием равен 60 градусам, то мы можем использовать тригонометрические соотношения. Обозначим половину стороны основания буквой a/2 (для удобства). Тогда, используя тангенс, можем найти высоту пирамиды:
tg(60°) = (половина основания) / высота
√3 = (a/2) / h
√3h = a/2
h = (a * √3) / (2√3)
h = a/2√2
4. Подставим значение h в уравнение для радиуса:
4 + (a/2√2)^2 = радиус^2
4 + (a^2/8) = радиус^2
32 + a^2 = 8радиус^2
5. Найдем сторону основания a:
Так как у нас правильная 4-угольная пирамида, то сторона основания является стороной правильного квадрата, вписанного в описанную окружность. С помощью теоремы Пифагора находим значение a:
(сторона/2)^2 + (сторона/2)^2 = радиус^2
(a/2)^2 + (a/2)^2 = радиус^2
(1/2)^2a^2 + (1/2)^2a^2 = радиус^2
1/4a^2 + 1/4a^2 = радиус^2
1/2a^2 = радиус^2
6. Подставим значение a в уравнение для радиуса:
32 + a^2 = 8радиус^2
32 + (1/2a^2) = 8радиус^2
64 + a^2 = 16радиус^2
a^2 = 16радиус^2 - 64
a^2 = 16(радиус^2 - 4)
7. Найдем площадь сферы:
Площадь сферы можно выразить через ее радиус по формуле S = 4πr^2. Подставим полученное значение a вместо радиуса r и найдем площадь сферы:
S = 4π(радиус^2 - 4)
S = 4π(a^2 - 4)
S = 4π(16радиус^2 - 64 - 4)
S = 4π(16радиус^2 - 68)
S = 64πрадиус^2 - 272π
Таким образом, площадь сферы равна 64πрадиус^2 - 272π, где радиус равен √3(a / 2√2) (4 + (a/2√2)^2).
1. Определим высоту пирамиды:
Высотой правильной пирамиды является отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания. Обозначим высоту буквой h. Так как у нас именно правильная пирамида, то высота h будет проходить через центр основания и пересекать его пополам.
2. Найдем радиус описанной сферы:
Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра основания до вершины пирамиды (то есть, высоте). Так как у нас правильная пирамида и высота делит основание пополам, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы:
(основание/2)^2 + h^2 = радиус^2
(4√2/2)^2 + h^2 = радиус^2
2^2 + h^2 = радиус^2
4 + h^2 = радиус^2
3. Найдем высоту пирамиды:
Так как угол между ребром и основанием равен 60 градусам, то мы можем использовать тригонометрические соотношения. Обозначим половину стороны основания буквой a/2 (для удобства). Тогда, используя тангенс, можем найти высоту пирамиды:
tg(60°) = (половина основания) / высота
√3 = (a/2) / h
√3h = a/2
h = (a * √3) / (2√3)
h = a/2√2
4. Подставим значение h в уравнение для радиуса:
4 + (a/2√2)^2 = радиус^2
4 + (a^2/8) = радиус^2
32 + a^2 = 8радиус^2
5. Найдем сторону основания a:
Так как у нас правильная 4-угольная пирамида, то сторона основания является стороной правильного квадрата, вписанного в описанную окружность. С помощью теоремы Пифагора находим значение a:
(сторона/2)^2 + (сторона/2)^2 = радиус^2
(a/2)^2 + (a/2)^2 = радиус^2
(1/2)^2a^2 + (1/2)^2a^2 = радиус^2
1/4a^2 + 1/4a^2 = радиус^2
1/2a^2 = радиус^2
6. Подставим значение a в уравнение для радиуса:
32 + a^2 = 8радиус^2
32 + (1/2a^2) = 8радиус^2
64 + a^2 = 16радиус^2
a^2 = 16радиус^2 - 64
a^2 = 16(радиус^2 - 4)
7. Найдем площадь сферы:
Площадь сферы можно выразить через ее радиус по формуле S = 4πr^2. Подставим полученное значение a вместо радиуса r и найдем площадь сферы:
S = 4π(радиус^2 - 4)
S = 4π(a^2 - 4)
S = 4π(16радиус^2 - 64 - 4)
S = 4π(16радиус^2 - 68)
S = 64πрадиус^2 - 272π
Таким образом, площадь сферы равна 64πрадиус^2 - 272π, где радиус равен √3(a / 2√2) (4 + (a/2√2)^2).