35 диагональ выпуклого четырехугольника abcd, выписанного в окружность с центром в o, взаимно перпендикулярны. докажите, что ломанная aoc делит четырехугольник на две части равной площади.

Пусть K – точка пересечения диагоналей AC и BD. Если O принадлежит AC, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников – выпуклый. Пусть тогда M и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на AC и BD. Тогда

SABCO = ½ AC·OM + ½ AC·BK = ½ AC·(OM + BK) = ½ AC·(KN + BK) = ¼ AC·BD = ½ SABCD.