Докажите что любого острого угла альфа выполняется неравенство sin альфа + cos альфа> 1

Косинус равен единице, если это нулевой угол.  

Но нулевой угол чисто геометрически не является углом, он выглядит как луч.  

Поэтому, если угол острый, то есть не нулевой, то его косинус будет обязательно меньше единицы.