Восновании прямой треугольной призмы abca₁b₁c₁ лежит равнобедренный треугольник abc с основанием ac. точка k - середина ребра a₁b₁, а точка m делит ребро ac в отношении am : mc = 1 : 3. докажите, что km ⊥ ac

Пусть А + начало координат .

Ось Х - АС

Ось У - перпендикулярно Х в сторону В

Ось Z - AA1

Пусть AC - a

Высота основания h

Высота призмы Н

АС (а:0;0)

К(а/4;h/2;H)

M(a/4;0;0)

KM (0;-h/2;-H)

KM * AC = 0 - перпендикулярны.

Ну конечно в ЕГЭ нужно все подробно расписывать там по 1,2 признаку подобия и тд. Думаю, сам как нужно распишешь....

Проведем KO∥AA1

И сделаем проекцию KM на пл ABC

Это будет прямая OM

Рассмотрим плоскость основания, в нем проведем высоту BH-она делит основание AC пополам, так как по условию треугольник равнобедренный

Но тут не трудно заметить, что △AMO подобен △AHB  с коэффициентом подобия равным 2. Значит MO∥BH  и MO  перпендикулярно AC

Теперь т о 3-х перпендикулярах. Если прямая перпендикулярна проекции прямой на плоскость. То такая прямая перпендикулярна этой прямой.

У нас MO перпендикулярна AC значит по т о 3-х перпендикулярах KM перпендикулярна прямой AC  ч.т.д