Существует ли треугольник, для которого справедливо равенство c = 2a*cosa

Да, это равнобедренный треугольник.

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС со сторонами  АВ=с, АС=b и ВС =а. Проведем высоту СН к стороне АВ.

Тогда CosA = АН/АС.   => AH = AC·CosA.

Если АВ = с = 2·АН, то  с = 2b·CosA.

Если АС=ВС, то есть b = a, то имеем:

с = 2а·CosA.

ответ: для равнобедренного треукгольника АВС с основанием АВ = с справедливо равенство: с = 2а·CosA.