Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом

Так как ромб является параллелограммом, то из признака прямоугольника следует, что ромб, у которого равны диагонали, является прямоугольником, а значит, он является квадратом

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, значит, они делят ромб на прямоугольные треугольники, каждый из катетов которых равен половине  диагонали ромба.  

Если диагонали равны, то и катеты всех четырех треугольников равны, т.е. углы каждого треугольника составляют 90°, 45° и 45°.  

Диагональ ромба делит угол пополам, из чего следует, что все углы ромба 45*2=90°, т.е.  этот ромб - прямоугольник.

Но стороны ромба равны, значит -  этот прямоугольник - квадрат.