Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5см, 5 см и 6 см , диагональ большей боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45°, найдите объем данной призмы?

Рассмотрим большую боковую грань. Это прямоугольник со стороной 6 см, и диагональю под углом 45°. Прямоугольник с диагональю под 45° - квадрат. Высота призмы h=6 см.
Основание призмы равнобедренный треугольник.
S(основания)=(6/2)*√(5^2-(6/2)^2)=3*4=12 см^2
S(полная)=2*S(основания)+Р*h=2*12+(5+5+6)*6=120 см^2

В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Т.к. диагональ большей боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45°, то высота призмы равна большей стороне основания, 6 см. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Найдем площадь основания - треугольника со сторонами 5, 5, 6 по формуле Герона. 
р=(5+5+6)/2=8
S=√8*(8-5)(8-5)(8-6)=√8*3*3*2=√4*2*3*3*2=2*2*3=12
V=12*6=72 см куб.