Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.

Выведем формулы радиусов через сторону равностороннего треугольника. Примем ее за х.
r=2S/(a+b+c)
R=abc/4S
Найдем площадь треугольника
S=½*х*х*sin60°=x^2*√3/4
найдем радиусы вписанный и описанный
r=x^2√3/2/3x=x√3/6
R=x^3/x^2*√3=x√3/3
найдем отношение радиусов
R/r=(x√3/3)/(x√3/6)=2
т.е. r=½R=½*16=8 см