Окружности с центрами о1 и о2 касаются в точке а внешним образом. прямая проходящая через точку а вторично пересекает первую окружность в точке в, а вторую в точке с. докажите, что прямая о2с параллельна прямой о1в и найдите площадь треугольника всо2, если известно, что радиуса первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а угол аво1=15°
ΔBO₁A - равнобедренный т.к. BO₁ = AO₁ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₁BA = ∠O₁AB.
ΔCO₂A - равнобедренный т.к. CO₂ = AO₂ как радиусы одной окружности, поэтому ∠O₂СA = ∠O₂AС.
Центры окружностей и их точка касания лежат на одной прямой, A∈O₁O₂.
∠O₁AB = ∠O₂AC как вертикальные.
Получаем, что ∠O₁AB = ∠O₁AB = ∠O₂AC = ∠O₂СA
Откуда ∠O₂СA = ∠O₁AB эти углы являются внутренними накрест лежащими для секущей BC и прямых O₂C, BO₁. Раз они равны, то O₂C║BO₁ ч.т.д.
В равнобедренном треугольника высота проведённая к основанию является и медианой. Если боковая сторона равна а, а острый угол равен α. То основание равно 2а·cosα. Подробнее смотри внизу приложения.
В ΔBO₁A:
BO₁=5, ∠O₁BA=15° ⇒ AB = 2·BO₁·cos∠O₁BA = 10cos15°
В ΔCO₂A:
CO₂=8, ∠O₂CA=15° ⇒ AC = 2·CO₂·cos∠O₂CA = 16cos15°
BC = AB+AC = 10cos15°+16cos15° = 26cos15°
В ΔBO₂C:
BC=26cos15°, O₂C=8, ∠O₂CB=15°
Тогда S(BO₂C) =
BC·O₂C·sin∠O₂CB = 
26cos15°·8·sin15° = 13·(2sin15°·cos15°)·8/2 = 13·4·sin30° = 13·4/2 = 26
ответ: 26.
sin2x = 2sinx·cosx