Решить : у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро довжиною 5 см утворює з площиною основи кут 45 градусів . знайдіть тангенс кута нахилу бічної грані до площини основи .

√2

Объяснение:

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани равные равнобедренные треугольники.

SO - высота пирамиды, значит DO - проекция бокового ребра SD на плоскость основания, тогда

∠SDO = 45° - угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Пусть Н - середина CD. тогда

SH⊥CD, так как медиана равнобедренного треугольника CSD является и высотой и

ОН⊥CD (ОН - средняя линия ΔACD, значит ОН║AD, а AD⊥CD), тогда

∠SHO - угол наклона боковой грани к плоскости основания - искомый.

______

ΔSOD:  ∠SOD = 90°, ∠SDO = 45°, значит ∠OSD = 45°, треугольник равнобедренный,

SO = OD = SD / √2 = 5/√2 см

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, значит

OC = OD, ΔCOD равнобедренный, прямоугольный, CD - его гипотенуза:

CD = OD√2 = 5/√2 · √2 = 5 см

ОН = CD/2 = 2,5 см как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.