Сторона равностороннего треугольника равна 8√3.найти радиус круга, который проходит через середину сторон треугольника.

Через середины сторон равностороннего треугольника можно провсти только одну окружность - вписанную в этот треугольник. Для того чтобы найти ее радиус надо решить прямоугольный треугольник малым катетом которого является искомый радиус OD, большим катетом AD является половина стороны равностороннего треугольника 8√3/2 = 4√3, гипотенузой - отрезок AO от вершины равностороннего треугольника A до центра вписанной окружности, с углом DAO равным половине 60 градусов то есть 30 градусов. 
Вот и считаем: 
AO = AD/cos(30) = 4√3/(√3/2) = 8, 
OD = AO*sin(30) = 8/2 = 4
Радиус искомой окружности равен 4