На ребре sc правильной четырёхугольной пирамиды sabcd взята точка м так, что sm: mc=2: 1. найдите отношение площадей сечений пирамиды параллельными плоскостями bmd и a, если a проходит через точку а.
Плоскость BMD - равнобедренный треугольник, плоскость a даёт в сечении четырёхугольник РКТА, состоящий из двух равнобедренных треугольников РКТ и РТА с общим основанием РТ. Проведём сечение CSA. Оно перпендикулярно заданным плоскостям и пересекает их по высотам треугольников. Из подобия треугольников в полученном сечении имеем: - высота треугольника РКТ равна половине высоты BMD, - основание треугольника РКТ равна половине основания BMD. Получаем: S(РКТ) = (1/4)S(BMD). Высота КЕ треугольника РКТ равна половине высоты МО треугольника BMD, а сумма высот КА треугольников РКТ и BMD в 2 раза больше МО, то есть равна 4 высоты КЕ. Отсюда вывод: высота ЕА равна 3 высоты КЕ и площадь треугольника РТА равна трём площадям РКТ. Подходим к ответу: S(РКТА) = 4S(РКТ) =S(BMD).
Проведём сечение CSA.
Оно перпендикулярно заданным плоскостям и пересекает их по высотам треугольников.
Из подобия треугольников в полученном сечении имеем:
- высота треугольника РКТ равна половине высоты BMD,
- основание треугольника РКТ равна половине основания BMD.
Получаем: S(РКТ) = (1/4)S(BMD).
Высота КЕ треугольника РКТ равна половине высоты МО треугольника BMD, а сумма высот КА треугольников РКТ и BMD в 2 раза больше МО, то есть равна 4 высоты КЕ.
Отсюда вывод: высота ЕА равна 3 высоты КЕ и площадь треугольника РТА равна трём площадям РКТ.
Подходим к ответу:
S(РКТА) = 4S(РКТ) =S(BMD).