Углы четырехугольника, взятые последовательно, отнсятся как : 4: 2: 5: 7. можно ли описать окружность вокуг этого четырехугольника ?

Да. Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

x=360/(4+2+5+7)=20

Первая пара: 4*20+5*20=180

Вторая: 2*20+7*20=180